Hvis du nogensinde har spillet Spot It! (også kendt som Dobble), har du sikkert stillet det samme spørgsmål, som millioner af spillere har grublet over:
Hvordan kan det være, at hvert kortpar har nøjagtigt ÉT matchende symbol?
Det føles som magi… men det er faktisk matematik, nærmere bestemt endelige projektive planer, kombinatorik og modulær aritmetik.
Table of Contents
1. Det centrale matematiske begreb: endelige projektive planer
Et standard Spot It! kortspil er baseret på strukturen af et finite projektivt plan af orden n.
Et projektivt plan af orden n har disse egenskaber:
- Hvert kort har (n + 1) symboler.
- Der er (n² + n + 1) symboler i alt.
- Der er (n² + n + 1) kort i alt.
- To vilkårlige kort har nøjagtigt ÉT symbol til fælles.
- To vilkårlige symboler forekommer sammen på nøjagtigt ÉT kort.
For Spot It! er den anvendte rækkefølge:
- n = 7
Hvilket giver:
- Symboler pr. kort: n + 1 = 8
- Kort i kortspillet: n² + n + 1 = 57
- Unikke symboler: 57
Dette forklarer, hvorfor Spot It!-kortspil normalt har 55 kort (to fjernes for at passe til produktet i æsken).
2. Hvorfor kun ét matchende symbol fungerer
Matematisk set, hvis hvert par kort skal have nøjagtigt ét symbol til fælles (ikke mere, ikke mindre), skal strukturen forhindre:
- nul match (underlap)
- flere match (overlap)
Et projektivt plans design garanterer dette:
- Hvert symbol vises på n + 1 kort.
- Hvert kort har n + 1 symboler.
- Symbolfordelingen er afbalanceret gennem modulære aritmetiske konstruktioner.
3. Hvordan kortene faktisk genereres
Her er den forenklede konstruktive metode, der bruges til at opbygge et kortspil, når n er et primtal (som 7).
Trin A: Opret det »uendelige« kort
Symboler:
- ∞, a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6 (i alt 8 symboler)
Trin B: Opret n grupper med n kort
For hver række r (0–6) og hver kolonne c (0–6) skal du oprette et kort:
- symbol: a_r
- plus symbolerne b_{(r×1+c)}, b_{(r×2+c)}, …, b_{(r×7+c)} (alle modulo 7)
Dette sikrer, at mønsterjusteringer altid overlapper hinanden én gang og kun én gang.
Trin C: Tilføj de sidste n + 1 »hældningskort«
Disse sikrer, at diagonale relationer matcher som krævet af det projektive plan.
Når kortstakken er samlet, danner den en perfekt matematisk struktur, hvor:
- Hvert kort krydser hvert andet kort ved nøjagtigt ét symbol.
4. Hvorfor primtal er vigtige
Denne konstruktion fungerer problemfrit, når n er et primtal (2, 3, 5, 7, 11, …) eller en primtalspotens.
Derfor bruger Spot It!
- n = 7 (et primtal)
- Kort = 57 (maksimalt muligt for denne rækkefølge)
Hvis du prøver at bygge dit eget sæt med:
- n = 6
- n = 10
- n = 12
vil du hurtigt opdage, at det er umuligt at overholde reglen om »kun én match«, fordi projektive planer ikke findes for de fleste ordrer, der ikke er primtal.
5. Hvorfor kortspillet har 55 kort og ikke 57
I teorien giver et perfekt n = 7 projektivt plan 57 kort.
Men Spot It!-kortspil leveres normalt med:
- 55 kort (standard)
- 31 kort (juniorversion)
- Tilpassede tematiske antal
Producenterne trimmer kortspillet for at opnå:
- Ensartethed i æskestørrelse
- Produktionsomkostninger
- Tematiske sæt
- Udvidelsesdesignvalg
Selv med fjernede kort føles matchingsstrukturen stadig »magisk« for spillerne.
6. Systemets smukke symmetri
Et fuldt realiseret projektivt plan har en utrolig balance:
- Hvert symbol vises det samme antal gange.
- Hvert kort opfører sig identisk.
- Hele systemet er symmetrisk og »fair«.
Denne symmetri er det, der giver Spot It! sin smidige gameplay, hvor ingen kort er lettere eller sværere at matche end andre.
7. Kan du designe dit eget Spot It! kortspil?
Ja! Så længe du følger disse trin:
- Vælg et primtal n.
- Brug n² + n + 1 som dit samlede antal symboler og kort.
- Sæt n + 1 symboler på hvert kort.
- Konstruer ved hjælp af modulær aritmetik eller en projektiv planegenerator.
For eksempel:
| n | Symboler pr. kort | Samlet antal kort | Bemærkninger |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 7 | Lille demo-sæt |
| 3 | 4 | 13 | Små tematiske muligheder |
| 5 | 6 | 31 | Populær brugerdefineret størrelse |
| 7 | 8 | 57 | Klassisk Spot It!-størrelse |
Derfor bruger fan-lavede Print-and-Play (PnP)-versioner ofte primtal.