Se avete mai giocato a Spot It! (noto anche come Dobble), probabilmente vi sarete posti la stessa domanda che milioni di giocatori si sono chiesti:
come è possibile che ogni coppia di carte abbia esattamente UN simbolo in comune?
Sembra magia… ma in realtà è matematica, in particolare piani proiettivi finiti, combinatoria e aritmetica modulare.
Table of Contents
1. Il concetto matematico fondamentale: piani proiettivi finiti
Un mazzo standard di Spot It! si basa sulla struttura di un piano proiettivo finito di ordine n.
Un piano proiettivo di ordine n ha queste proprietà:
- Ogni carta ha (n + 1) simboli.
- Ci sono (n² + n + 1) simboli in totale.
- Ci sono (n² + n + 1) carte in totale.
- Due carte qualsiasi condividono esattamente UN simbolo.
- Due simboli qualsiasi compaiono insieme su esattamente UNA carta.
Per Spot It!, l’ordine utilizzato è:
- n = 7
Il che dà:
- Simboli per carta: n + 1 = 8
- Carte nel mazzo: n² + n + 1 = 57
- Simboli unici: 57
Questo spiega perché i mazzi Spot It! hanno solitamente 55 carte (due vengono rimosse per adattarsi al prodotto confezionato).
2. Perché funziona solo un simbolo corrispondente
Matematicamente, se ogni coppia di carte deve avere esattamente un simbolo in comune (né più, né meno), la struttura deve impedire:
- zero corrispondenze (sovrapposizione insufficiente)
- corrispondenze multiple (sovrapposizione eccessiva)
Il design di un piano proiettivo garantisce questo:
- Ogni simbolo appare su n + 1 carte.
- Ogni carta ha n + 1 simboli.
- La distribuzione dei simboli è bilanciata attraverso costruzioni aritmetiche modulari.
3. Come vengono effettivamente generate le carte
Ecco il metodo costruttivo semplificato utilizzato per costruire un mazzo quando n è un numero primo (come 7).
Fase A: Creare la carta “infinita”
Simboli:
- ∞, a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6 (8 simboli in totale)
Fase B: Creare n gruppi di n carte
Per ogni riga r (0–6) e ogni colonna c (0–6), creare una carta:
- simbolo: a_r
- più i simboli b_{(r×1+c)}, b_{(r×2+c)}, …, b_{(r×7+c)} (tutti modulo 7)
Questo assicura che gli allineamenti dei modelli si sovrappongano sempre una sola volta.
Fase C: Aggiungere le n + 1 carte “inclinate” finali
Queste assicurano che le relazioni diagonali corrispondano come richiesto dal piano proiettivo.
Una volta assemblato, il mazzo forma una struttura matematica perfetta in cui:
- Ogni carta interseca ogni altra carta esattamente in un simbolo.
4. Perché i numeri primi sono importanti
Questa costruzione funziona perfettamente quando n è un numero primo (2, 3, 5, 7, 11, …) o una potenza prima.
Ecco perché Spot It! utilizza:
- n = 7 (un numero primo)
- Carte = 57 (il massimo possibile per questo ordine)
Se provi a costruire il tuo mazzo con:
- n = 6
- n = 10
- n = 12
Scoprirai rapidamente che è impossibile soddisfare la regola “una sola corrispondenza” perché i piani proiettivi non esistono per la maggior parte degli ordini che non sono potenze prime.
5. Perché il mazzo ha 55 carte e non 57
In teoria, un piano proiettivo perfetto n = 7 dà 57 carte.
Ma i mazzi Spot It! vengono comunemente forniti con:
- 55 carte (standard)
- 31 carte (versione Junior)
- Conteggi tematici personalizzati
I produttori riducono il mazzo per:
- Coerenza delle dimensioni della scatola
- Costo di produzione
- Set tematici
- Scelte di progettazione dell’espansione
Anche con le carte rimosse, la struttura di abbinamento sembra ancora “magica” ai giocatori.
6. La bella simmetria del sistema
Un piano proiettivo completamente realizzato ha un equilibrio incredibile:
- Ogni simbolo appare lo stesso numero di volte.
- Ogni carta si comporta in modo identico.
- L’intero sistema è simmetrico e “equo”.
Questa simmetria è ciò che conferisce a Spot It! la sua fluidità di gioco, dove nessuna carta è più facile o più difficile da abbinare rispetto alle altre.
7. È possibile progettare il proprio mazzo Spot It!
Sì! Basta seguire queste indicazioni:
- Scegliere un numero primo n.
- Utilizzare n² + n + 1 come totale dei simboli e delle carte.
- Metti n + 1 simboli su ogni carta.
- Costruisci utilizzando l’aritmetica modulare o un generatore di piani proiettivi.
Ad esempio:
| n | Simboli per carta | Totale carte | Note |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 7 | Piccolo set demo |
| 3 | 4 | 13 | Piccole opzioni tematiche |
| 5 | 6 | 31 | Dimensioni personalizzate popolari |
| 7 | 8 | 57 | Dimensioni classiche di Spot It! |
Questo è il motivo per cui le versioni Print-and-Play (PnP) create dai fan utilizzano spesso ordini primi.